引
假设我们需要对这个函数求导
$$ W(C) = det(C) $$一个比较粗浅的方法
设
$$ J(A) = det(A) $$那么显然有
$$ J(A) = \sum_k^na_{ik}c_{ik} $$其中 $c_{ik}$ 是 $a_{ik}$的代数余子式
那么
$$ \partial J / \partial a_{ij} = c_{ij} $$又有
$$ A A^* = det(A)I $$于是可以得到一个看上去挺对的结论
$$ \partial J / \partial A =det(A) A^{-T} $$但是有些漏洞：比如我们只需要矩阵某些元素变化而导致的变换，就像方向导数那样，这个时候这种表达方式就有点不足了，于是让我们来引入frechet导数来推导一遍。
Frechet导数和Gateaux导数
首先让我们看看Frechet导数的定义：
存在有界线性算子 $A: X \to Y$ 使得
$$ \lim_{\|h\| \to 0} \frac{\| f(x+h) - f(x) - Ah \|_Y}{\|h\|_X} = 0 $$则称 $f$ 在 $x$ 处 Fréchet 可导，记 $A = f'_F(x)$，称为 Fréchet 微分。
这东西看着就复杂，没学过泛函的话连定义都看不懂，一问gpt上来就抛给你一串公式啥也看不懂，这个微分也不好求，有没有什么更适合工程的方法？有的有的，下面是Gateaux导数的定义
给定两个赋范线性空间 $X$ 和 $Y$，映射 $f: U \subset X \to Y$，其中 $U$ 是开集。
在点 $x \in U$ 处，若存在有界线性算子 $A: X \to Y$，使得对任意方向 $h \in X$ 有
则称 $f$ 在 $x$ 处 Gateaux 可导，记 $A = f'_G(x)$，称为 Gateaux 微分。
等价地，对每个固定的 $h$，导数 $D_h f(x) = \left. \frac{d}{dt} f(x+th) \right|_{t=0}$ 存在且是 $h$ 的线性连续映射。
看着舒服多了，至少能知道怎么求。下面我们用这个法子来求前文提到的导数。
行列式的Gateaux导数
我们有
$$ DJ(A)[H] = \lim_{t \to 0} \frac{J(A+tH)-J(A)}{t} $$其中
$$ J(A+tH) = J(A)J(I+tA^{-1}H) $$令$C=A^{-1}H$ 假设$C$的特征值为$\lambda_i$，那么显然$I+tC$的特征值为$1+t\lambda_i$
又
$$ J(C)=\prod_{i=1}^n \lambda $$则
$$ \begin{aligned} J(I+tC) &= \prod_{i=1}^n 1+t \lambda_i \\ &=1+t\sum_i\lambda_i+O(t^2)\\ &=1+t\mathrm{tr}(C) + O(t^2) \end{aligned} $$又有
$$ \mathrm{tr}(AB) =A^T : B $$回到原式
$$ \begin{aligned} \lim_{t \to 0} \frac{J(A+tH)-J(A)}{t} &= J(A)*\mathrm{tr}(C)\\ &=J(A)*\mathrm{tr}(A^{-1}H)\\ &=J(A) A^{-T}:H \end{aligned} $$和前面求的差不多，就是多了一个$H$，他的作用就像二阶导数中的方向，这也告诉我们，Gateaux导数得到的是一个映射，输入一个方向（或者叫扰动量），得到对应的导数，记住这个概念，后面链式法则要用。
链式法则
叠甲：本文不考虑不可导的情况。严谨的证明留给专门的人来做，我只介绍如何计算。
设 $X, Y, Z$ 是赋范空间，$U \subset X$，$V \subset Y$，
$g: U \to V$ 在 $x$ 处 Gateaux 可导，
$f: V \to Z$ 在 $y = g(x)$ 处 Fréchet 可导。
那么复合函数 $h = f \circ g$ 在 $x$ 处 Gateaux 可导，且
这里 $Dg(x)$ 是 $g$ 在 $x$ 处的 Gateaux 导数（线性算子），$Df(y)$ 是 $f$ 在 $y$ 处的 Fréchet 导数。
这个看上去和高中时学的链式法则还挺像的，区别就是中间的乘号变成了一个圆圈。现在我们来求另一个简单的导数$\partial W/\partial F$：
$$ W(C) = det(C),C=F^TF $$显然
$$ DC(F)[H] = F^TH + H^TF $$那么
$$ \begin{aligned} D_H(F)&=det(C)C^{-T} :(F^TH + H^TF) \\ &=2det(F)F^{-1}F^{-T} : (F^TH + H^TF) \end{aligned} $$