弦振动方程

从最简单的形式出发：

设弦长为$L$，则固定边界条件下的特解为

其中

$A_n$和弦的初始状态有关，他的推导有点复杂，但是它的大小随着$n$的增大迅速衰减，大致如下

弦一维的位移会影响琴码，继而在共鸣箱中发出声音，在空气中按照三维的波方程传播，最后在耳膜处接收到（这里也有一个阻尼振动方程）。物理过程比较繁琐，但是实际接收到的频率和弦振动的频率是差不多的，于是我直接通过一维的弦震动方程来研究听到的声音。

五度相生

从弦震动方程很容易看出，一根弦在振动的时候发出的声音的频率和弦的长度成反比关系，而且频率并不单一，频率由一个基频和他的整数倍组成，这称之为泛音列。而由基频$f_0$发出的音，称之为C。

显然，如果把一根弦的长度减半，则基频翻倍，而它发出的泛音列和减半前依旧十分相似。翻倍后的音还是C，有一堆相似的音是不够的，需要其他音。

于是把弦一份为三，$L/3$发出基频为$3f_0$的声音，和原本的相比，重叠的部分虽然少了一些，但还是很多，听起来还是很和谐，我们称之为G。但是音有点高了，于是在$L/3$的基础上把弦长翻倍，等同于把弦长取$2L/3$，得到了一个低了一些但是十分相似的G。

于是我们有了两种得到音的手段：一个是把弦长减半，一个是把弦长取$2/3$，两种手段结合，就能得到各种各样和谐的音。具体来说，我们不断的把一根弦取$2/3$，（相当于基频乘$3/2$），如果得到的弦不足原本的一半，则把弦长翻倍（相当于基频除2，这么做保证了得到的音依旧在$(f_0,2f_0)$的区间。

不断反复，得到了这个：

我们当然希望，不断的进行这个操作，可以回到基频。但是这是不可能的，这相当于让

因为质因数的分解唯一，所以这个等式永远不可能成立（除非m，n=0）。推到第十二个的时候，得到：

已经非常接近基频了，而下一个这么接近会在第51次的时候出现，其误差如下：

如果不想音名和化学周期表一样多的话，那还是用十二音阶吧。我让gpt写一个程序可以来模拟五度 计算：

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from fractions import Fraction

def fifth_cycle(max_n=60):
    k =0
    r = Fraction(1,1)

    for n in range(1, max_n+1):

        r *= Fraction(3,2)
        
        # 折回一个八度
        while r >= 2:
            r /= 2
            k += 1
        while r < 1:
            r *= 2
            k -= 1

        error = float(r - 1)
        
        if error < 0.02:
            print(
                f"n={n:3d}  "
                f"ratio={r}  "
                f"value={float(r):.12f}  "
                f"error={error:.12f}  "
                f"k={k:3d}"
            )

fifth_cycle(500)

三分损益

五度相生律是毕达哥拉斯学派研究出来的，而在中国古代，也有着一样的东西，这便是三分损益法。三分损益法直接研究弦长，三分，便是把弦分为三份；损，把弦长缩短一份，相当于弦长乘2/3，频率乘3/2；益把弦长增长一份，相当于弦长乘4/3，频率乘3/4。不断的使用损和益，也能得到十二个音。

古人辛辛苦苦算了十二次，算到最后发现黄钟不能还原，于是给了个名字叫清黄钟。西汉有个叫京房的人不信邪，继续算，整了个六十律，运行我上面的程序会发现在65次的时候会有一个近似，但实际上还是回归不了。到了南朝宋有个叫钱乐之的，整出来了三百六十律，相当于黄钟推到359次的一个近似。

律名有了，音名也得有，于是就有了五音：

五音的音高是相对的而不是固定的，律名的音高则是固定的，所以不只有黄钟宫，还有太簇宫、姑洗宫，类似转调的操作。

三分损益法由管仲发明，管仲不仅搞经济有一手，玩音乐也厉害。相传管仲被押上囚车，靠着唱歌给押囚车的人打气，让车速加快，让鲁国的国君来不及反悔，才得以顺利活着回到齐国。这个故事来自《东周列国志》，可能有些虚构的成分，但多少也能看出来管仲在音乐上的造诣。