本文是对之前写的数值积分的拓展。
N维空间中的N维单纯形积分
变换域和符号约定
积分过程包括了三个映射$\zeta \mapsto \eta \mapsto \xi \mapsto x$,其含义如下
实际积分域：单纯形
$$ S=\text{conv}\{v_0,\dots,v_N\}\subset\mathbb{R}^N $$实际积分域内部的点用$x$表示
标准单纯形（在 $\mathbb{R}^N$）：
$$ \hat S = \Big\{\, \xi=(\xi_1,\dots,\xi_N)\in\mathbb{R}^N \;\Big|\; \xi_i\ge 0,\; \sum_{i=1}^N \xi_i \le 1 \,\Big\}. $$高斯积分区域和位移放缩后的区域：
$$ \zeta \in [-1,1]^N, \quad \eta=\frac{\zeta+1}{2}\in [0,1]^N . $$$\eta \to \xi$ 的映射
递归乘积公式1
$$ \begin{aligned} \xi_1 &= \eta_1, \\ \xi_2 &= (1-\eta_1)\,\eta_2, \\ \xi_3 &= (1-\eta_1)(1-\eta_2)\,\eta_3, \\ &\;\;\vdots \\ \xi_{N} &= \Big(\prod_{j=1}^{N-1}(1-\eta_j)\Big)\eta_N, \\ \xi_0 &= \prod_{j=1}^N (1-\eta_j). \end{aligned} $$令这个变换的雅可比式为$J^{\xi}_{\eta}$，不难发现雅可比矩阵是一个三角阵，其行列式的值为
$$ |\det(J^{\xi}_{\eta})| = \prod_{k=1}^{N-1}(1-\eta_k)^{\,N-k} $$递归乘积公式2
$$ \begin{aligned} \xi_1 &= (1-\eta_2)\eta_1, \\ \xi_2 &= (1-\eta_3)\,\eta_1\,\eta_2, \\ \xi_3 &= (1-\eta_4)\,\eta_1\,\eta_2\,\eta_3, \\ &\;\;\vdots \\ \xi_{N} &= \prod_{j=1}^{N}\eta_j, \\ \xi_0 &= (1-\eta_1). \end{aligned} $$这个变换的雅可比式也是一个三角阵，但是对角线上的一排还有元素，所以不能直接去对角线上的元素相乘作为行列式的值，但是可以把最后一排加到倒数第二排，再把倒数第二排的加到倒数第三排，以此类推可以把对角线上一排的值消掉，得到行列式的值为：
$$ |\det(J^{\xi}_{\eta})| = \prod_{k=1}^{N}\eta_k^{\,N-k} $$标准单纯形到实际单纯形的映射
$$ x = v_0 + \sum_{i=1}^N \xi_i (v_i - v_0). $$这就可以写成矩阵形式：
$$ x = v_0 + A \xi, $$其中
$$ A = \big[ v_1 - v_0 \;\; v_2 - v_0 \;\; \cdots \;\; v_N - v_0 \big] \in \mathbb R^{d \times N}. $$这样就把单纯形 $\Delta^N$ 上的点 $\xi$ 映射到物理空间中的点 $x$ 了。
于是实际单纯形内任意点写为
$$ x = \sum_{i=0}^N \xi_i v_i . $$其重心坐标为
$$ \xi_0 = 1 - \sum_{i=1}^N \xi_i, \qquad \xi_i = \xi_i \quad (i=1,\dots,N). $$从 $\zeta$ 到 $x$ 的最终映射
$$ x(\zeta) = \sum_{i=0}^N \xi_i(\eta(\zeta))\, v_i, \quad \eta = \tfrac{\zeta+1}{2}. $$雅可比行列式
映射 $\zeta \mapsto \eta \mapsto \xi \mapsto x$ 的雅可比为
$$ \Big|\det\frac{\partial x}{\partial \zeta}\Big| = |\det A|\,|\det J^{\xi}_{\eta}|\;(\tfrac{1}{2})^N , $$最终积分公式
对 $f\colon S\to\mathbb{R}$，
$$ \int_S f(x)\,dx = \int_{[-1,1]^N} f(x(\zeta))\; |\det A|\,|\det J^{\xi}_{\eta}|\;(\tfrac{1}{2})^N d\zeta. $$然后就可以在 $[-1,1]^N$ 上直接用 Gauss–Legendre 积分点 $(\zeta,w)$ 做数值积分。
N维空间中的的M维单纯形积分
积分区域
我们在 $\mathbb{R}^N$ 空间里有一个 $M$-维单纯形
$$ F = \mathrm{conv}\{ v_0, v_1, \dots, v_{M} \}, \quad v_i \in \mathbb{R}^N. $$标准 $M$-单纯形
定义参考单纯形：
$$ \hat F = \{\, \xi = (\xi_1,\dots,\xi_{M}) \in \mathbb{R}^{M} \mid \xi_i \ge 0,\;\; \sum_{i=1}^{M} \xi_i \le 1 \,\}. $$重心坐标：
$$ \xi_0 = 1 - \sum_{i=1}^{M} \xi_i, \quad \xi_i = \xi_i \;\;(i=1,\dots,M). $$映射到实际面：
$$ x(\xi) = \sum_{i=0}^{M} \xi_i v_i = v_0 + \sum_{i=1}^{M} \xi_i (v_i - v_0). $$雅可比（面元因子）
参数矩阵：
$$ B \;=\; \begin{bmatrix} \;v_1-v_0 & v_2-v_0 & \cdots & v_{M}-v_0\; \end{bmatrix} \;\in\; \mathbb R^{\,N\times M}. $$面元的度量因子是
$$ J(\xi) = \sqrt{\det(B^\top B)}. $$可以类比为缩放因子
特别地：
- 在 2D（边，1D simplex），就是线段长度：$J=|v_1-v_0|$。
- 在 3D（三角形，2D simplex），就是三角形的面积因子：$J=| (v_1-v_0) \times (v_2-v_0)|$。
gpt告诉我这个行列式也叫Gram行列式，详细的推导就涉及微分几何的内容了，我曾在菲赫金哥尔茨的《微积分学教程（第三卷）》上看到过一个三维到二维的推导，大受震撼，感兴趣的读者可以自己去推下试试。
Jacobian 权重
变换的面积因子为
$$ \Big\|\frac{\partial x}{\partial \zeta}\Big\| = J \cdot \Big(\tfrac{1}{2}\Big)^{M} \cdot |\det J^{\xi}_{\eta}|, $$其中
$$ J = \sqrt{\det(B^\top B)}, \quad B = [\,v_1-v_0,\dots,v_{M}-v_0\,]. $$最终积分公式
对于 $f:\mathbb{R}^N\to\mathbb{R}$，
$$ \int_F f(x)\, dS = \int_{[-1,1]^{M}} f(x(\zeta))\; J \;\Big(\tfrac{1}{2}\Big)^{M}\; |\det J^{\xi}_{\eta}|\; d\zeta. $$然后直接用张量积 Gauss–Legendre 规则在 $[-1,1]^{M}$ 上做。
代码
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